LES FRANGES D’ YOUNG

 L’expérience d’YOUNG, est fondamentale car elle établit de façon indubitable le caractère vibratoire de la lumière.
 A l’origine, l’expérience consistait à percer dans une feuille de bristol deux trous de très petit diamètre (< 0,1mm) et très rapprochés (distance < 1mm). En plaçant le bristol contre l’oeil, on regardait une source «ponctuelle» et monochromatique.
 On observait alors un système d’anneaux (figure de diffraction d’un trou circulaire) sur lequel apparaissait une série de franges brillantes et sombres.

 En dépit de la simplicité du montage, l’observation était difficile à réaliser. En effet, en 1806 il n’existait ni électricité, ni même de gaz d’éclairage. Les seules sources monochromatiques connues s’obtenaient en faisant brûler de l’alcool auquel on avait ajouté du sel de cuisine ou encore, pour accroître l’intensité, à saupoudrer de sel un simple brasier.

 L’avènement des lasers Helium-Neon qui sont des sources ponctuelles, à la fois monochromatiques et très intenses a considérablement facilité la vie des expérimentateurs mais, paradoxalement, rendu plus délicate l’obtention de figures de diffraction «propres». A cause de la cohérence du faisceau laser, il faut que les pupilles diffractantes soient exemptes de tout défaut ce qui exclut des tirages photographiques. La solution consiste à utiliser des pupilles obtenues par électroérosion qui présentent l’inconvénient d’être très onéreuses.

 Le caractère vibratoire de la lumière

  Une démonstration probante consiste à masquer l’une des fentes (ou trou) et à  observer les modifications de la figure lorsque l’on ôte le masque.
 On constate aisément qu’en certains points de l’écran, l’introduction de la seconde fente entraîne la disparition de la lumière. Ce qui conduit en ces points au paradoxe :
lumière issue de la 1ère fente + lumière issue de la 2ème fente = Zéro de lumière

 Pour lever ce paradoxe, il suffit de considérer que la lumière est une vibration qui peut être décrite par l’équation s = a cos (ω t +φ).
 Mais une difficulté apparaît puisque cette équation prend des valeurs négatives. Il faut alors supposer que l’oeil n’est sensible qu’au carré de la vibration pour résoudre le problème.
 Il est remarquable de constater que deux siècles après l’introduction de ces deux hypothèses, il n’existe pas, dans le domaine visible, d’expériences pouvant vérifier leur validité. Comme nous le verrons plus loin, la fréquence d’oscillation est de l’ordre de 10¹⁴  Hertz (10¹⁴ oscillations par seconde) ce qui est beaucoup trop élevé pour être détecté même avec l’électronique ultra-rapide dont nous disposons aujourd’hui.
 Il nous faut donc nous contenter de vérifier seulement que les conséquences de ces deux hypothèses sont en parfait accord avec la réalité.

Montage expérimental

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 Malgré la très faible distance entre les deux fentes, l’expérience qui consiste à masquer l’une d’elles est facile à réaliser à l’aide d’une simple languette de papier, fixée sur une platine micrométrique et suffisamment approchée de la pupille.
 Le dispositif peut être complété en montant une lentille escamotable de courte focale (4 cm) après la pupille de façon à  former l’image des fentes sur l’écran d’observation.

Images géométriques de la pupille obtenues en insérant la lentille
Les images de diffraction correspondantes (noter sur la photo de droite l'apparition de stries noires dues à la présence de la seconde fente).

Les bases de l’optique ondulatoire

 Le qualitatif «ondulatoire» a une origine littéraire. Dans la fable du loup et l’agneau, LA FONTAINE écrit: « Un agneau se désaltérait dans le cours d’une onde pure ».
 De fait, la théorie des interférences a été établie par analogie avec les phénomènes observés à la surface de l’eau.
 Rendons nous donc au bord d’un étang.
 Le fait de jeter une pierre dans l’eau fait apparaître un système de rides à profil sinusoïdal qui se déplace avec une vitesse V. Si un corps flottant est placé sur le trajet, on voit le corps monter et descendre au passage des vagues. Contrairement à une idée reçue, le corps ne se déplace pas, il se contente d’osciller sur place.
 Le fait n’est observable qu’en l’absence de la moindre brise. On peut le constater en plaçant côte-à-côte un cube de bois, un bouchon de liège et une balle de ping-pong. Plus la prise au vent est importante, plus l’observation est faussée.
 Mathématiquement, nous écrirons que le corps flottant reproduit le mouvement de la source un instant plus tard.
 Soit  a cos ωt le mouvement de la source (méthode de calcul en optique ondulatoire).
 Si on appelle τ  le temps que met le paquet de rides pour atteindre l’objet flottant, le mouvement de celui-ci est décrit par l’expression a cosω(t + τ).
 A partir de cette équation, il y a trois possibilités de raisonnement.

i -) raisonnement sur les temps.
 Avec ω = 2π / T, il vient  a cos(ω t + 2π τ /T). Par suite, si τ est égal à un nombre entier de périodes (τ =kT),  le mouvement du corps flottant est identique à celui de la source. Tous deux passent par le maximum où le minimum en même temps.

ii -) raisonnement sur les phases.
 Posons 2π τ /T = φ . Le mouvement du corps flottant est : a cos (ω t + φ).
Si φ = 2 k π, les mouvements de la source et du corps flottant sont dits «en phase». Maxima ou minima se produisent au même instant. Pour les valeurs  φ = (2k +1) π on parle d’opposition de phase. A l’instant où la source est à son maximum d’amplitude, le corps flottant est à la position la plus basse.

iii -) raisonnement sur les distances
 Puisque les rides se déplacent à une vitesse constante V, le corps flottant situé à une distance d est atteint au bout du temps τ = d / V.  L’équation devient a cos (ω t + 2π d / VT). V étant une vitesse et T un temps, le produit VT est une longueur que l’on appelle longueur d’onde et que l’on note λ.
  L’équation du mouvement du corps flottant devient a cos (ωt + 2π d / λ). Par suite pour toutes les distances telles que  d = kλ ( k entier), le mouvement du corps est identique à celui de la source. Il est en opposition pour les valeurs

 Note : A l’instant  t = τ , prenons une photo du système de rides. Le temps étant figé, ω τ = cste. Nous visualisons ainsi l’équation a cos ( 2π d /λ + cste) qui devient une fonction de la distance d.

Deux points situés à des distances différentes ont le même état vibratoire si l’argument du cosinus diffère de 2kπ. Les points les plus proches ont lieu pour k=1
soit :  ( 2π d₁ /λ + cste) = ( 2π d₂ /λ + cste) + 2π . D’où l’on tire  d₁ - d₂  = λ . La longueur d’onde n’est donc autre que la distance entre deux rides successives.
On utilise parfois la grandeur inverse σ =1 /λ  que l’on appelle nombre d’onde. Elle correspond tout simplement au nombre de rides présentes par unité de longueur. Ainsi pour l’eau, λ= 0,15 m d’où :
σ = 1/ 0,15 = 6, 67 m^-1 . Il y a un peu moins de 7 rides sur une distance de 1 mètre.

Le phénomène d’interférences

 Lâchons maintenant simultanément deux pierres de façon que les équations de mouvement des sources s’écrivent a cos ωt.
 Si t₁ et t₂  sont les temps mis par chaque système de rides pour atteindre le corps flottant, le mouvement de celui-ci est donné par l’équation ( Méthodes de calcul en optique ondulatoire ) :
 S = a cosω (t + t₁) + a cosω (t + t₂)  = 2a cosω [ t₁  -t₂) / 2] cosω [ t + (t₁  + t₂) / 2]

Le corps flottant oscille donc à la même fréquence que les sources, avec un décalage qui dépend de la quantité mais aussi avec une amplitude qui vaut       

Or cette expression peut prendre la valeur zéro en certains points du plan, ce qui se traduit par : Mouvement dû à la source S1 + Mouvement dû à la source S2 = Absence de Mouvement.
 C’est sur cette simple analogie que s’est appuyé FRESNEL pour développer la théorie ondulatoire de la lumière.

 De préférence à un calcul mathématique, examinons ce qui se passe avec une maquette découpée dans une simple planche d’isorel.

Supposons d’abord que le point d’observation soit situé sur l’axe des deux sources.  Les trajets d1 et d2 étant égaux, les deux ondes arrivent en phase en ce point. Elles passent simultanément à leur maximum ou à leur minimum. L’amplitude du mouvement résultant est alors maximale.

Ecartons nous légèrement de l’axe, la coïncidence n’étant plus parfaite, l’amplitude résultante va diminuer car l’une des ondes passe par sa valeur maximale alors que l’autre ne l’a pas atteinte ou l’a déjà dépassée.

Augmentons l’écart jusqu’à un point où le maximum d’une onde correspond au minimum de l’autre. En ce point le corps flottant est soumis à un mouvement ascendant dû à une onde et descendant dû à l’autre. Comme les deux mouvements ont la même amplitude mais sont de sens contraires, le corps reste immobile.

Eloignons nous encore. L’amplitude de l’oscillation croît jusqu’à une nouvelle valeur maximum obtenue lorsque les deux ondes sont décalées d’une ride.  Et ainsi de suite...

Calcul de l’interfrange   

 Revenons à l’optique. Appelons D la distance de l’écran aux fentes et x la distance du point d’observation à leur axe. La coutume veut que a désigne la distance entre les fentes (ce qu’il ne faut pas confondre avec l’amplitude de l’oscillation).

d1 et d2 étant les hypoténuses de triangles de côtés D et  x ± a / 2, on a immédiatement                  d1 - d2  = que l'on peut écrire :

a et x étant toujours beaucoup plus petits que D (typiquement D > 1m, x = qqs cm et a < 1mm, les termes littéraux sont << 1. Ce qui fait que les radicandes se mettent sous la forme (1 + ε)^1/2 dont le développement limité est 1 + ε /2.

D'où l'on tire :   d₁ - d₂ = a x / D . Lorsqu'on fait varier x, la quantité  (d₁ - d₂) varie. Or, on passe d'un maximum au suivant lorsque  (d₁ - d₂) a varié de λ. Désignons par i la variation correspondante de x. Il vient :
                                                   i = λ D /a
i est appelé interfrange.

Note: Un autre manière de faire le calcul de façon approchée consiste à tracer un arc de cercle centré sur M et à assimiler la corde S1 S'1 à la perpendiculaire issue de S1 sur M S2. De même, on suppose que la bissectrice de l’angle S1 M S2 (qui est perpendiculaire à cette corde) passe par le point situé à mi-distance des deux sources.  Avec ces approximations, on a :    tan α = x / D  et sin α = (d1 - d2 ) / a.

 Pour les petits angles  tan α  ≈  sin α  ≈ α   ce qui conduit au même résultat que précédemment. Mais avec cette démonstration, la validité des approximations faites est beaucoup plus délicate à établir.

Mesures de longueurs d’onde

 On oublie trop souvent que cette expérience fut la première qui permit d’attribuer un nombre à une couleur de l’arc-en ciel. Si, dès 1700, Newton avait inventé le prisme, l’avait installé à la sortie de son télescope pour étudier la composition de la lumière émise par les astres, ses descriptions manquaient de précision faute d’un étalon de mesure.

 Reprenons la valeur de l’interfrange i = λ D / a. On voit que le facteur multiplicatif
(D/a) peut être énorme. Avec D = 4m et a = 0,5 mm, il vaut 8000. En utilisant un microscope pour déterminer précisément la valeur de a, et en faisant porter les mesures sur une vingtaine d’intervalles, on peut atteindre une précision de l’ordre de 1% sur la mesure de λ.
 A la notion vague de couleur (jaune-vert, jaune paille, jaune franc, jaune-or, jaune orange) se substituait un chiffre dont la précision allait considérablement augmenter avec l’invention des réseaux de diffraction puis de l’interféromètre de FABRY-PEROT.
 

La cohérence temporelle de la lumière

 L’observation des rides à la surface de l’eau permet d’aller plus loin dans la compréhension du phénomène lumineux. Lorsqu’on jette une pierre dans l’eau, il se forme seulement un paquet de quelques rides. Supposons que nous lâchions les deux pierres à des instants très différents. Le premier paquet s’est éloigné et le second ne pourra le rattraper. Les interférences disparaissent.
 Un siècle après l’expérience d’YOUNG, la théorie atomique allait reprendre cette idée.
 La lumière est émise par les atomes. Au repos ceux-ci n'émettent pas, mais lors d’une collision, ils acquièrent de l’énergie qu’ils restituent sous la forme de minuscules éclairs dont la durée peut varier de quelques picosecondes (10^-12 sec.) à rarement plus que quelques microsecondes (10^{- 6} sec.).
 De plus, contrairement aux rides qui conduisent à une oscillation toujours perpendiculaire au plan de l’étang, l’oscillation de l’onde électromagnétique se produit avec un azimut quelconque.
 Or, l’expérience de FRESNEL-ARAGO  montre que les interférences ne peuvent se produire que si les directions d’oscillation sont parallèles. Ainsi la probabilité pour que deux atomes émettent simultanément et, de plus, avec la même direction de polarisation est infime.
 FRESNEL avait énoncé la règle que l’on ne pouvait produire des interférences avec deux sources différentes et qu’il fallait procéder en divisant puis recombinant un même faisceau.
 Nous traduisons ceci en écrivant que la lumière naturelle est incohérente.

Pour les mathématiciens

 Les très faibles dimensions des pupilles utilisées lors des expériences d’YOUNG entraînent que les phénomènes de diffraction perturbent fortement la distribution d’intensité des franges d’interférences.

i- ) Fentes de largeur L et distantes de a. 

Dans le plan «horizontal» contenant la figure de diffraction, couplons les  2 rayons passant par le centre des fentes et formant un angle α avec l’axe.  Ces deux rayons, présentant un déphasage φ0 = (2π a sin α) /λ  peuvent être considérés comme un rayon unique transportant la vibration somme :                   A = 2a0 cos (φ0 / 2) cos (ω t + φ0 / 2)

 Mathématiquement, ceci revient à remplacer les 2 fentes par une fente unique dont nous savons calculer la figure de diffraction (diffraction par une fente).

La vibration (1) s'écrit : A = 2a0 cos (φ0 / 2) cos (ω t + φ0 / 2). A une distance x du centre correspond un déphasage φ(x) = (2π x sin α) / λ et l'amplitude diffractée vaut

   Cette expression s'intègre assez facilement par la méthode trigonométrique (diffraction par une fente) ou par la méthode des nombres complexes (moyens de calculs). On trouve :   

L'amplitude de la vibration se présente comme le produit des amplitudes des phénomènes de diffraction et d’interférence pris séparément.

ii -) Cas des trous d’ YOUNG

 Le calcul de la figure de diffraction d’une pupille circulaire est trop complexe pour être abordé ici. On peut avoir une idée de cette figure en utilisant le raisonnement suivant.

 Nous avons vu qu’une fente allongée donnait naissance à une ligne ponctuée orientée perpendiculairement à la direction de grande dimension de la fente.
 Imaginons de faire tourner la fente, dans son plan, autour de son centre. La partie centrale laisse à découvert un cercle de diamètre égal à la largeur d de la fente tandis que la rotation de la figure de diffraction  engendre un système d’anneaux.
 Le calcul de la répartition de l’intensité le long d’un diamètre de la figure révèle l’existence d’un pic central qui concentre plus de 80% de l’énergie incidente et d’arches secondaires dont l’intensité décroît avec la distance au centre.
 De plus, les anneaux correspondants aux zéros de lumière ont lieu pour les valeurs  angulaires (k+0,25) λ /d avec une légère correction pour les premiers anneaux (1,22  2,23  3,24  4,25 ...)